第四色

​https://www.liaoxuefeng.com/article/1565255725482019【BLK-261】世界で一番活発なお尻 EMIRI

托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）是18世纪的英国数学家，亦然一位虔敬的牧师。神话他为了反驳对天主的质疑而推导出贝叶斯定理。贝叶斯定理是一个由恶果倒推原因的概率算法，在贝叶斯提倡这个条目概率公式后，很长一段时间，专家并莫得以为它有什么作用，并一直受到主流统计派别的舍弃。直到野心情出死后，东说念主们发现，贝叶斯定理不错芜俚期骗在数据分析、形式识别、统计决议，以及最火的东说念主工智能中，恶果，贝叶斯定理是如斯灵验，以至于不仅期骗在野心情上，还芜俚期骗在经济学、面目学、博弈论等多样规模，不错说，掌捏并期骗贝叶斯定理，是每个东说念主必备的时间。

这里推选两个视频，潜入浅出地阐明了贝叶斯定理：

Bayes' Theorem 贝叶斯定理

Bayes theorem， the geometry of changing beliefs

如若你不想花太多时间看视频，不错陆续阅读，我把视频实质编译成翰墨，以便快速学习贝叶斯定理。

为了搞剖析贝叶斯定理究竟要处置什么问题，咱们先看一个履行生计的例子：

已知有一种疾病，发病率是0.1%。针对这种疾病的测试特地准确：

如若有病，则准确率是99%（即有1%未检出阳性）；

如若莫得病，则误报率是2%（即有2%误报为阳性）。

当前，如若一个东说念主测试泄露阳性，领导他患病的概率是若干？

如若咱们从大街上怪异找一个东说念主，那么他患病的概率便是0.1%，因为这个概率是基于历史统计数据的先验概率。

当前，他作念了一次测试，恶果为阳性，咱们要野心他患病的概率，便是野心条目概率，即：在测试为阳性这一条目下，患病的概率是若干。

从直观上这个东说念主患病的概率大于0.1%，但也笃定小于99%。究竟是若干，怎么野心，咱们先放一放。

为了鸠集条目概率，咱们换一个更粗浅的例子：掷两次骰子，一共可能出现的恶果有6x6=36种：

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这便是所谓的样本空间，每个样本的概率均为1/36，这个很好鸠集。

如若咱们界说事件A为：至少有一个骰子是2，那么事件A的样本空间如下图红色部分所示：

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事件A一共有11种情况，咱们野苦衷件A的概率P(A)：

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咱们再界说事件B：两个骰子之和为7，那么事件B的样本空间如下图绿色部分所示：

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事件B一共有6种情况，咱们野苦衷件B的概率P(B)：

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接下来咱们用P(A∩B)示意A和B同期发生的概率，A∩B便是A和B的错乱，如下图蓝色部分所示：

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显然A∩B只须两种情况，因此，野心P(A∩B)：

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接下来咱们就不错权衡条目概率了。咱们用P(A|B)示意在B发生的条目下，A发生的概率。由于B照旧发生，是以，样本空间便是B的样本数目6，而要发生A则只但是A、B同期发生，即A∩B，有两种情况。

因此，野心P(A|B)如下：

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同理，咱们用P(B|A)示意在A发生的条目下，B发生的概率。此时，分子仍然是A∩B的样本数目，但分母造成A的样本数目：

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可见【BLK-261】世界で一番活発なお尻 EMIRI，条目概率P(A|B)和P(B|A)是不同的。

咱们再回到A、B同期发生的概率，不雅察P(A∩B)不错改写为：

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同理，P(A∩B)还不错改写为：

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因此，根据上述两个等式，咱们推导出底下的等式：

P(A ∩ B)=P(A∣B) × P(B)=P(B∣A) × P(A)

P(A∩B)=P(A∣B)×P(B)=P(B∣A)×P(A)

把左边的P(A∩B)去掉，咱们取得等式：

P(A∣B)×P(B)=P(B∣A)×P(A)

临了，整理一劣等式，咱们推导出贝叶斯定理如下：

P(A∣B)=P(B∣A)×P(A) / P(B)

这便是知名的贝叶斯定理，它示意，当出现B时，如何野心A的概率。

好多时候，咱们把A改写为H，把B改写为E：

P(H∣E)=P(E∣H)×P(H) / P(E)

H示意Hypothesis（假定），E示意Evidence（字据），贝叶斯定理的真谛就在于，给定一个先验概率P(H)，在出现了字据E的情况下，野心后验概率P(H|E)。

野心

有了贝叶斯定理，咱们就不错回到开头的问题：

已知有一种疾病，发病率是0.1%。针对这种疾病的测试特地准确：

如若有病，则准确率是99%（即有1%未检出阳性）；

如若莫得病，则误报率是2%（即有2%误报为阳性）。

当前，如若一个东说念主测试泄露阳性，领导他患病的概率是若干？

用H示意患病，E示意测试为阳性，那么，咱们要野心在测试为阳性的条目下，一个东说念主患病的概率，便是野心P(H|E)。根据贝叶斯定理，野心如下：

P(H∣E)=P(E∣H)×P(H) / P(E)

P(H)示意患病的概率，根据发病率可知，P(H)=0.1%；

P(E|H)示意在患病的情况下，测试为阳性的概率，根据“如若有病，则准确率是99%”可知，P(E|H)=99%；

P(E)示意测试为阳性的概率。这个概率就稍许复杂点，因为它是指对统统东说念主（包含病东说念主和健康东说念主）进行测试，恶果阳性的概率。

咱们不错把检测东说念主数放大，举例放大到10万东说念主，对10万东说念主进行检测，根据发病率可知：

有100东说念主是病东说念主，另外99900是健康东说念主；

对100个病东说念主进行测试，有99东说念主泄露阳性，另有1东说念主未检出（阴性）；

对99900个健康东说念主进行测试，有2%=1998东说念主泄露阳性（误报），另有98%=97902东说念主为阴性。

下图泄露了检测为阳性的恶果的漫步：

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是以，关于10万东说念主的样本空间来说，事件E=泄露阳性的概率为(99+1998)/100000=2.097%。

带入贝叶斯定理，野心P(H|E)：

P(H∣E)=P(E∣H)×P(H) / P(E)=99% x 0.1% / 2.097% =0.99 x 0.001 /  0.02097 = 0.04721 = 4.721%

野心恶果为患病的概率为4.721%，这个概率远小于99%，且与大巨额东说念主的直观不同，原因在于强大的健康东说念主群导致的误报数目远多于病东说念主，当出现“检测阳性”的字据时，患病的概率从先验概率0.1%提高到4.721%，还远不及以确诊。

贝叶斯定理的另一种示意

在上述野心中，咱们发现野心P(E)是相比贫穷的，好多时候，以至无法知说念P(E)。此时，咱们需要贝叶斯定理的另一种示意面目。

咱们用P(H)示意H发生的概率，用H示意H不发生，P(H)示意H不发生的概率。显然P(H)=1-P(H)。

下图红色部分示意H，红色部分除外则示意H：

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事件E用绿色示意：

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可见，P(E)不错分为两部分，一部分是E和H的错乱，另一部分是E和H的错乱：

P(E)=P(E ∩ H)+P(E ∩ H)

根据上文的公式P(A∩B)=P(A|B)xP(B)，代入可得：

P(E)=P(E ∩ H)+P(E ∩ H)=P(E∣H)×P(H)+P(E∣H)×P(H)

把P(E)替换掉，咱们取得贝叶斯定理的另一种写法：

P(H∣E)=P(E∣H)×P(H) / ( P(E∣H)×P(H)+P(E∣H)×P(H) )

用这个公式来野心，咱们就无谓野心P(E)了。再次回到开头的问题：

已知有一种疾病，发病率是0.1%。针对这种疾病的测试特地准确：

如若有病，则准确率是99%（即有1%未检出阳性）；

如若莫得病，则误报率是2%（即有2%误报为阳性）。

当前，如若一个东说念主测试泄露阳性，领导他患病的概率是若干？

P(E|H)示意患病时检测阳性的概率=99%；

P(H)示意患病的概率=0.1%；

P(E|H)示意莫得患病但检测阳性的概率=2%；

P(H)示意莫得患病的概率=1-P(H)=99.9%。

代入公式，野心：

P(H∣E)=P(E∣H)×P(H) / ( P(E∣H)×P(H)+P(E∣H)×P(H) ) 

=99% x 0.1% / ( 99%×0.1%+2%×99.9% =0.04721=4.721%

检测为阳性这一字据使得患病的概率从0.1%提高到4.721%。假定这个东说念主又作念了一次检测，恶果仍然是阳性，那么他患病的概率是若干？

咱们仍然使用贝叶斯定理野心，只不外当前先验概率P(H)不再是0.1%，而是4.721%，P(E|H)和P(E|H)仍保持不变，野心新的P(H|E)：

P(H∣E)=P(E∣H)×P(H) / ( P(E∣H)×P(H)+P(E∣H)×P(H) )  

= 99%×4.721% / ( 99%×4.721% + 2%×(1−4.721%) )=0.71=71%

恶果为71%，两次检测为阳性的恶果使得先验概率从0.1%提高到4.721%再提高到71%，陆续第三次检测如若为阳性则概率将提高至99.18%。

可见，贝叶斯定理的中枢念念想便是不消亡据新的字据，将先验概率调度为后验概率，使之更接近客不雅事实。

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